36. 알고리즘을 표현하는 방법으로 부적절한 것은? (3점)
1) 의사코드(pseudocode)
2) 순서도(flowchar)
3) 수학적 귀납법
4) 컴퓨터 프로그래밍 언어
정답: 3
해설: 알고리즘을 표현하는 언어로 컴퓨터 프로그래밍 언어, 순서도, 의사코드가 있다. 정답 3인 수학적 귀납법은 알고리즘의 표현 방법으로 부적절하다. 이는 알고리즘의 구체적인 단계나 실행 절차를 나타내기 위해 사용되는 것이 아니라, 수학적 진술이나 이론을 증명하는 데 사용된다. 반면, 의사코드, 순서도, 컴퓨터 프로그래밍 언어는 알고리즘을 효과적으로 표현하고 구현하는 데 적합하다. 의사코드는 알고리즘의 구조를 명확하게 설명하는 반면, 순서도는 시각적으로 각 단계를 나타내며, 컴퓨터 프로그래밍 언어는 알고리즘을 컴퓨터에서 실행할 수 있는 코드로 작성한다.
37. 다음 내용과 가장 관련이 깊은 것은? (3점)
“이것은 어떤 문제를 해결하기 위해서 문제 풀이에 관련이 깊은 것 이외에 다른 속성이나 상세한 부분을 제거함으로써
문제를 보다 명확하고 간단하게 만드는 것을 말합니다.”
1) 기법
2) 추상화
3) 도구
4) 방법론
정답: 2
해설: 정답은 추상화이다. 추상화는 복잡한 문제에서 중요하지 않은 세부 사항을 제거하고 핵심적인 요소만을 간추려 문제를 단순화하는 과정이다. 이는 문제 해결을 위해 관련성이 낮은 정보를 배제하고 중요한 부분에 집중하도록 돕는 기법이다. 다른 선지들인 기법, 도구, 방법론은 이 설명과 직접적인 연관성이 적으며, 추상화는 문제를 해결하기 위해 복잡성을 줄이는 데 명확하게 초점을 맞춘다.
38. 다음 중 명제인 것은? (4점)
1) 2x-6=0
2) 별이 참 많군요.
3) 오늘 기말시험 잘 보세요.
4) 지구에서는 육지가 바다보다 더 넓다.
정답: 4
해설: 정답은 4번, "지구에서는 육지가 바다보다 더 넓다"이다. 이 문장은 참이거나 거짓일 수 있는 명확한 진술로서 명제의 조건을 만족한다. 반면, 1번 "2x-6=0"은 조건식이며 참이나 거짓을 판단할 수 없어 명제가 아니다. 2번 "별이 참 많군요"는 감탄문으로 주관적인 표현이 포함되어 있어 명제로 볼 수 없다. 3번 "오늘 기말시험 잘 보세요"는 바람을 나타내는 기원문이므로 명제가 아니다. 따라서 4번만이 유일하게 명제로서의 요건을 충족한다.
39. 다음 명제 p와 q, 그리고 이들의 논리곱 pq의 진리값을 순서대로 나타댄 것은? (3점)
p: 훌수와 홀수를 곱하면 짝수이다.
q: 훌수와 훌수를 더하면 짝수이다.
1) F, T, F
2) F, T, T
3) T, F, F
정답: 1
해설: 정답은 1이다. 명제 p는 "훌수와 홀수를 곱하면 짝수이다"라고 주장하지만, 이는 잘못된 정보이므로 거짓이다. 홀수와 홀수를 곱하면 결과는 항상 홀수이다. 명제 q는 "훌수와 훌수를 더하면 짝수이다"라고 주장하며, 이는 사실이므로 참이다. 따라서 p는 거짓, q는 참이며, 두 명제의 논리곱 pq는 p가 거짓이므로 pq 역시 거짓이 된다.
40. 명제 \( p \)에 대해서 다음 중 모순명제인 것은? (4점)
① \( p \lor \sim p \)
② \( p \land \sim p \)
③ \( p \lor F \)
④ \( p \land T \)
정답: 2
해설: 정답 2번은 \( p \land \sim p \) 형태의 명제로서, \( p \)와 \( p \)의 부정 \( \sim p \)가 동시에 참일 수 없으므로 이는 모순명제이다. 1번 \( p \lor \sim p \)는 법칙에 의해 항상 참이 되는 법칙명제이다. 3번 \( p \lor F \)는 거짓인 F를 더하더라도 \( p \)의 참거짓에 따라 결정되므로 조건부 참이다. 4번 \( p \land T \)는 참인 T와의 연산이므로 \( p \)의 참거짓에 따라 참이나 거짓이 결정된다. 이로써 2번만이 모순적 성격을 가지며 항상 거짓인 명제로 확인된다.
41. 명제함수 \( P(x, y) = x + 2y = 3 \)일 때, 옳은 것은? (3점)
① \( P(1, 1) = F \)
② \( P(1, 2) = T \)
③ \( P(2, 1) = F \)
④ \( P(2, 2) = T \)
정답: 3
해설: 명제함수 \( P(x, y) = x + 2y = 3 \)을 평가할 때, 각 좌표를 함수에 대입해 식의 참과 거짓을 확인한다. 예를 들어, \( P(1, 1) \)의 경우 \( 1 + 2 \times 1 = 3 \)이므로 거짓이다. \( P(1, 2) \)는 \( 1 + 2 \times 2 = 5 \)이므로 역시 거짓이다. \( P(2, 1) \)은 \( 2 + 2 \times 1 = 4 \)로 거짓이며, \( P(2, 2) \)은 \( 2 + 2 \times 2 = 6 \)으로 거짓이다. 따라서 답은 3번이다.
42. 다음 중 유효추론이 아닌 것은? (3점)
① \( p \)이면 \( p \lor q \)이다.
② \( p \)이면 \( p \land q \)이다.
③ \( p \)이고 \( p \to q \)이면 \( q \)이다.
④ \( p \to q \)이고 \( q \to r \)이면 \( p \to r \)이다.
정답: 2
해설: 유효추론은 정당한 추론으로서 전제가 참이라고 가정하였을 때, 그에 따른 결론이 항상 참이 되는 추론을 의미한다. 정답인 2번에서는 \( p \)이면 \( p \land q \)이다 라는 추론이 유효하지 않다. \( p \)가 참이라도 \( q \)가 거짓일 경우 \( p \land q \)는 거짓이 되기 때문이다. 다른 선지들을 살펴보면, 1번 \( p \)이면 \( p \lor q \)은 \( p \)가 참이면 \( p \lor q \)도 참이므로 유효하다. 3번은 \( p \)가 참이고 \( p \to q \)가 참이면 \( q \)도 참이 되므로 유효하다. 4번도 \( p \to q \)와 \( q \to r \)이 참이면 \( p \to r \)이 참이 되므로 유효하다. 이처럼 2번 선지만이 전제가 참일 때 결론이 거짓일 수 있어 유효추론이 아니다.
43. 다음에서 설명하는 것과 관련이 가장 깊은 것은?
"x^2이 짝수라면 x도 짝수이다"를 증명하고자 할 때, "x가 짝수가 아니라면 x^2도 짝수가 아니다"를 증명한다.
1) 대우증명법
2) 반례증명법
3) 직접증명법
4) 전수증명법
정답: 1
해설: 정답 1번은 대우증명법과 관련이 깊다. 문제에서 "x^2이 짝수라면 x도 짝수이다"라는 명제의 참을 증명하기 위해, 그 대우인 "x가 짝수가 아니라면 x^2도 짝수가 아니다"를 증명하는 방식을 사용하고 있다. 대우증명법은 주어진 명제의 대우가 참이면 원래 명제도 참임을 보이는 방법이다. 다른 선지들인 반례증명법, 직접증명법, 전수증명법은 이 문제의 상황과는 맞지 않는다. 반례증명법은 단 하나의 예외를 찾아 원래의 명제가 거짓임을 보이는 방법이고, 직접증명법은 명제를 직접적으로 증명하는 방법이며, 전수증명법은 가능한 모든 경우를 하나하나 증명하는 방법이다.
44. 집합 \( A = \{a, b, c\} \), \( B = \{d, e\} \)에 대해 다음 식들 중 부정확한 것은? (3점)
① \( A \)와 \( B \)는 서로소이다.
② \( \{\{a, b\}, \{c\}\} \)는 \( A \)의 부분이다.
③ \( A \)의 멱집합 \( P(A) \)는 원소가 \( 2^{|A|} = 2^3 = 8 \)개이다.
④ \( B \)의 멱집합 \( P(B) \)는 \( P(B) = \{\{d\}, \{e\}, \{d, e\}\} \)이다.
정답: 4
해설: 집합 \( A \)와 \( B \)는 공통 원소가 없기 때문에 서로소이다. \( \{\{a, b\}, \{c\}\} \)는 \( A \)의 부분집합이 아닌, 집합의 원소를 다시 집합으로 갖는 새로운 집합이다. \( A \)의 멱집합 \( P(A) \)는 원소가 \( 2^{|A|} = 2^3 = 8 \)개이며, 이는 정확하다. 그러나 \( B \)의 멱집합 \( P(B) \)에는 공집합과 각 원소를 단독으로 포함하는 집합, 전체 집합을 포함해야 하므로 정답 4는 부정확하다. 이는 \( P(B) \)가 \(\{\emptyset, \{d\}, \{e\}, \{d, e\}\}\)를 포함해야 함을 의미한다.
45. 전체집합 \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)와 \( U \)의 부분집합인 \( A \)와 \( B \)가 각각 \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{2, 3, 4\} \)일 때 다음 선택 중 옳은 것은? (4점)
① \( A \cup B = U \)
② \( A \cap B = \emptyset \)
③ \( A - B = \{1, 0, 0, -4\} \)
④ \( A \oplus B = \{1, 4\} \)
정답: 4
해설: 해설: 정답은 4번, \( A \oplus B = \{1, 4\} \)이다. 집합 \( A \)와 \( B \)의 대칭 차집합은 \( A \)와 \( B \)에 속하지만 두 집합에 공통적으로 속하지 않는 원소들의 집합이다. \( A \)의 원소는 \{1, 2, 3\}, \( B \)의 원소는 \{2, 3, 4\}이므로, 이 두 집합의 공통 원소는 \{2, 3\}이다. 따라서 \( A \oplus B \)는 \{1, 4\}이 된다. 다른 선택지를 보면, ①번 \( A \cup B = U \)는 \{1, 2, 3, 4, 5\}가 되어야 하므로 5가 빠져있어 틀리다. ②번 \( A \cap B = \emptyset \)은 \( A \)와 \( B \)가 교집합을 갖기 때문에 틀리다. ③번 \( A - B = \{1, 0, 0, -4\} \)는 부분집합의 차에서 나올 수 없는 원소들을 포함하고 있어 틀리다.
46. \( U \)가 전체집합이고 \( A \subseteq B \subseteq U \)일 때 부정확한 것은? (4점)
① \( A \cup B = B \)
② \( A^c \cup B = U \)
③ \( A^c \subseteq B^c \)
④ \( A - B = \emptyset \)
정답: 3
해설: 정답 3번은 \( A^c \subseteq B^c \)가 부정확하다고 제시되어 있다. 이는 \( A \subseteq B \)인 상황에서 \( A \)의 여집합이 \( B \)의 여집합에 포함되지 않는다는 내용이다. 실제로 \( A \subseteq B \)일 때 \( B^c \subseteq A^c \)가 성립한다. 다른 선지들을 살펴보면, 1번 \( A \cup B = B \)는 \( A \)가 \( B \)에 포함되므로 정확하다. 2번 \( A^c \cup B = U \)는 \( A^c \)와 \( B \)가 전체집합을 형성한다는 것으로, 이 또한 \( A \subseteq B \)임을 고려할 때 정확하다. 4번 \( A - B = \emptyset \)은 \( A \)가 \( B \)에 완전히 포함되므로 차집합이 공집합이 되는 것이 맞다. 따라서 3번만이 부정확한 선택지이다.
※ (47~48) 다음 행렬 A와 B에 대해서 물음에 답하시오.
A = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
47. 다음 중 옳은 것은? (3점)
① AB = A
② A^T = B
③ A + B = 2A
④ A - B = 0
정답: 1
해설: 행렬 A와 B의 곱 AB는 각 행과 열의 대응하는 요소를 곱한 후 결과를 더하는 방식으로 계산된다. B가 단위 행렬이므로 AB는 A와 같다. 따라서 선지 ①이 정답이다. A의 전치 행렬 A^T는 A와 동일하고, 이는 B와 다르므로 ②는 틀렸다. A + B는 각 요소를 더한 결과이며, 2A와 같지 않아 ③도 틀리다. A - B는 A에서 B를 뺀 결과로 0이 아니므로 ④도 틀린 선택지이다. 따라서 정답은 ① AB = A이다.
48. A와 B를 부울행렬로 보았을 때, 다음 중 틀린 것은? (2점)
① A∨B = A
② A∧B = B
③ A○B = A
④ A○(A∧B) = B
정답: 4
해설: A와 B를 부울행렬로 고려했을 때, 각 연산의 결과는 다음과 같다. ① A∨B = A는 부울 행렬의 논리합 연산으로, A와 B의 각 원소를 비교했을 때 더 큰 값이 선택되므로 A가 선택된다. ② A∧B = B는 부울 행렬의 논리곱 연산으로, A와 B의 각 원소 중 더 작은 값이 선택되어 B가 결과가 된다. ③ A○B = A는 부울 행렬의 곱셈 연산으로 A와 B의 곱셈 결과가 A와 동일하다. 그러나 ④ A○(A∧B) = B는 부울 행렬의 곱셈과 논리곱을 이용하는데, A와 (A∧B)의 곱셈 결과는 A와 B의 논리곱 결과가 A와 동일하므로 B와 같지 않다. 이는 A의 모든 행이 B의 대응하는 행과 같지 않기 때문이다. 따라서 ④는 잘못된 명제이다.
※ (49~51) 다음은 집합 \( A = \{1, 2, 3\} \), 에서의 관계 \(R\) 을 방향 그래프로 나타낸 것이다. 물음에 답하시오.
49. 관계 \( R \)을 순서쌍의 집합으로 나타낸 것은? (3점)
① \( R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)\} \)
② \( R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)\} \)
③ \( R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\} \)
④ \( R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)\} \)
정답: 2
50. 관계 \( R \)을 부울행렬로 나타낸 것은? (2점)
① \( M_R = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
② \( M_R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
③ \( M_R = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
④ \( M_R = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
정답: 1
51. 관계 R에 대한 설명으로 옳은 것은?
1) 동치 관계이다.
2) 반사적이고 대칭적이나 추이적이지 않다.
3) 반사적이고 추이적이나 대칭적이지 않다.
4) 반사적이지도 대칭적이지도 않지만 추이적이다.
정답: 4
해설: 관계 R은 추이적이지만 반사적이지도 대칭적이지도 않은 성질을 가지고 있다. 주어진 선지에서 옳은 것은 4번이다. 선지 분석을 하면, 1번 동치 관계는 반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족해야 하지만 R은 이를 충족하지 않는다. 2번과 3번 선지는 R이 반사적이거나 대칭적이라고 언급하나, R은 이 두 조건을 만족하지 않는다. 문제에서 주어진 순서쌍으로 볼 때 3->1, 1->2, 3->2 순서쌍이 존재하며 이는 추이성을 확인할 수 있지만, 모든 원소에 대해 (x, x) 형태의 순서쌍이 없어 반사성이 없고, 모든 (x, y)에 대해 (y, x)가 존재하지 않으므로 대칭성도 없다는 것을 알 수 있다. 따라서 4번이 정확한 설명이다.
52. 집합 \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{a, b, c, d\} \)에 대해 다음 중 \( A \)에서 \( B \)로의 함수인 것은? (3점)
① \( R = \{(1, a), (2, b)\} \)
② \( R = \{(1, b), (2, c), (2, d)\} \)
③ \( R = \{(1, c), (2, b), (3, d)\} \)
④ \( R = \{(1, d), (2, a), (3, b), (3, c)\} \)
정답: 3
해설: 정답은 3번이다. 함수의 정의에 따라 A의 모든 원소가 B의 정확히 하나의 원소와 연결되어야 한다. 1번 선지는 A의 원소 3이 어떤 B의 원소와도 연결되지 않아 함수가 아니다. 2번 선지는 A의 원소 2가 B의 두 원소 c와 d와 연결되어 있어 함수의 조건을 위반한다. 4번 선지도 A의 원소 3이 B의 두 원소 b와 c와 연결되어 있어 같은 문제가 있다. 반면에 3번 선지는 A의 각 원소가 B의 각기 다른 하나의 원소와만 연결되어 있어 함수의 정의를 만족한다.
53. 다음 중 옳은 것은? (3점)
① \( \lceil3.14 \rceil= 3 \)
② \( \lfloor-5.25 \rfloor = -5 \)
③ \( 4! - 3! = 3! \)
④ \( 19 \mod 7 = 5 \)
정답: 4
해설: 정답 4번 \( 19 \mod 7 = 5 \)은 19를 7로 나눈 나머지가 5이므로 정확하다. 1번 \( \lceil3.14 \rceil = 3 \)은 잘못되었는데, 올림값은 4이다. 2번 \( \lfloor-5.25 \rfloor = -5 \)도 잘못되었으며, 내림값은 -6이다. 3번 \( 4! - 3! = 3! \)은 계산하면 24 - 6 = 18로 3!인 6과 다르다. 따라서 4번이 유일하게 옳은 선택지이다.
54. 다음 부울식 중 옳은 것은? (2점)
① X + X = 2X
② X + 1 = X
③ X · 0 = X
④ X · 1 = X
정답: 4
해설: 정답은 4번 X · 1 = X이다. 부울 대수에서는 곱셈 연산자가 AND 연산을 의미하며, 어떤 변수 X와 1 사이의 AND 연산 결과는 항상 X 자신이 된다. 다른 선지를 살펴보면, ① X + X = X가 올바르며 2X는 부적합하다. ② X + 1 = 1이 올바르다, 이는 OR 연산에서 1이 항등원이기 때문이다. ③ X · 0 = 0이다, 곱셈에서 0은 영원인데, 이는 어떤 변수와 0의 AND 연산 결과가 0이 되기 때문이다.
55. 다음 그래프 G와 관련된 서술 중 옳은 것은 ?
1) G는 방향 그래프이다.
2) G는 이분 그래프이다.
3) G는 완전 그래프이다.
4) G의 차수는 3이다.
정답: 3
56. 다음 그래프 G에 관련된 설명으로 부적절한 것은?
1) G는 완전 그래프로서 K4이다.
2) G는 3-정규 그래프로서 큐빅 그래프라고도 한다.
3) G에는 오일러 투어가 존재한다.
4) G에는 해밀턴 사이클이 존재한다.
정답: 3
해설: G 그래프가 완전그래프 K4로, 모든 정점 간에 간선이 존재한다는 1번 설명은 적절하다. 2번 설명처럼 각 정점이 3개의 간선에 연결된 3-정규 그래프, 즉 큐빅 그래프라는 것도 맞다. 4번에서 언급된 해밀턴 사이클은 완전그래프에서는 모든 정점을 한 번씩 방문하며 사이클을 이루기 때문에 존재한다. 그러나 3번 설명에 오류가 있다. 오일러 투어는 모든 간선을 한 번씩만 방문하는 순환 경로로, 그래프의 모든 정점의 차수가 짝수여야 가능하다. K4 그래프의 모든 정점의 차수는 3으로 홀수이기 때문에 오일러 투어가 존재하지 않는다.
57. 트리(tree)에 관련된 서술로서 부정확한 것은? (2점)
① 트리는 연결 그래프로서 사이클이 없어야 한다.
② 트리는 연결 그래프에서 꼭지점(vertex)의 모두 n개이면 변(edge)도 n개를 가져야 한다.
③ 트리의 차수는 한 트리 내의 각 노드 차수 중 최대값이다.
④ 트리의 무게는 리프 노드들의 전체 개수로 정의한다.
정답: 2
해설: 정답은 2번이다. 트리는 연결 그래프에서 사이클이 없는 구조이다. 이 구조에서 꼭지점이 n개일 경우 변은 n-1개를 가져야 한다. 2번 선지의 내용은 꼭지점 수와 변의 수가 같아야 한다고 잘못 서술하고 있어 부정확하다. 다른 선지들을 살펴보면, 1번은 트리가 사이클이 없는 연결 그래프라는 올바른 설명이며, 3번은 트리의 차수를 설명하는 것이 올바르고, 4번은 리프 노드의 개수로 트리의 무게를 정의한 것이 적절하다. 따라서 오직 2번 선지만이 부정확한 서술이다.
58. 다음 <표1>과 같은 발생 빈도수를 갖는 5개의 문자 데이터에 대해서 데이터 압축에 자주 사용되는 허프만(Huffman) 코딩 방법을 이용한다고 하고, 사용된 트리 T는 아래 그림과 같다고 할 때 다음 중 옳은 것은? (2점)
표1
| 문자 | A | B | C | D | E |
| 발생 빈도수 | 17 | 12 | 12 | 27 | 32 |
① T는 이진 트리이다.
② T의 높이는 5이다.
③ T의 차수는 9이다.
④ 문자 E의 경우, 101로 코딩된다.
정답: 1
해설: 이진트리는 공집합이거나 모든 노드가 최대 2개의 서브트리를 가지는 루트 트리이다. 허프만 코딩을 이용한 문제에서 제시된 트리는 각 문자를 이진 코드로 변환하는 데 사용된다. 허프만 트리는 이진 트리 형태로 각 노드가 두 개의 자식을 갖는다는 점에서 ① T는 이진 트리이다는 정답이다. 트리의 높이는 노드들의 레벨 중 가장 큰 레벨로서 깊이라고도 한다. T의 높이는 3이다. 트리의 차수는 한 트리 내의 각 노드 차수 가운데 최대 차수로 정의한다. T에서 가장 큰 차수는 2이다. 마지막으로 문자 E는 최상위 오른쪽 노드에서 시작하여 또 다시 오른쪽으로 가는 경로(1)를 따르고, 최종적으로 왼쪽으로 분기되어 코딩되지 않으므로 ④ 문자 E의 경우, 101로 코딩된다는 것도 오답이다.
59. 집합 \( A = \{a, b\} \)에서 집합 \( B = \{1, 2, 3\} \)로 가는 함수는 모두 몇 개인가? (2점)
① 6
② 8
③ 9
④ 12
정답: 3
해설: 집합 \( A = \{a, b\} \)에서 집합 \( B = \{1, 2, 3\} \)로 가는 함수는 각 원소 \(a\)와 \(b\)가 \( B \)의 원소 \(1, 2, 3\) 중 하나를 선택할 수 있으므로 \(3\) 가지 선택이 가능하다. \(a\)와 \(b\)의 선택이 독립적이므로 총 함수의 개수는 \(3 \times 3 = 9\)개이다. 따라서 정답은 9이다. 다른 선지들인 6, 8, 12는 \(A\)에서 \(B\)로의 함수 개수를 잘못 계산한 결과이다. 각 원소의 선택 가능성을 곱하는 방법으로 함수의 전체 개수를 정확히 계산할 수 있다.
60. 다음 상태 그래프는 결정적 유한 오토마타를 표현하고 있다. 입력문자열 011000에 대응하는 출력문자열을 구한 것은?
1) abbaaa
2) abaabb
3) baabbb
4) babbaa
정답: 2
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